第三講 簡易高次方程的解法

　　例1 解方程

x³-2x²-4x＋8=0．

　　解 原方程可變形為

x²(x-2)-4(x-2)=0，

(x-2)(x2-4)=0，

(x-2)²(x+2)=0．

x₁＝x₂＝2，x₃=-2．

　　說明 當ad=bc≠0時，形如ax³＋bx²＋cx＋d=0的方程可這樣

=0可化為

bkx³+bx²+dkx+d=0，

即 (kx+1)(bx²+d)=0．

　　方程ax⁴+bx³+cx+d=0也可以用類似方法處理．

　　例2 解方程

　　　　(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．

　　解 把方程左邊第一個因式與第四個因式相乘，第二個因式與第三個因式相乘，得

(x²+5x-14)(x²＋5x＋4)=19．

(y-9)(y+9)=19，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y²-81＝19．

　　說明 在解此題時，仔細觀察方程中系數之間的特殊關系，則可用換元法解之．

　　例3 解方程

(6x＋7)²(3x+4)(x+1)=6．

　　解 我們注意到

　　　　2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，

　　　　6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，

所以利用換元法．設y=6x＋7，原方程的結構就十分明顯了．令

y=6x＋7， ①

由(6x＋7)²(3x＋4)(x＋1)=6得

(6x＋7)²(6x＋8)(6x＋6)=6×12，

y²(y＋1)(y-1)=72，

y⁴-y²-72＝0，

(y²＋8)(y²-9)=0．

因為y²＋8＞0，所以只有y²-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根為

　　例4 解方程

12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0．

　　解 觀察方程的系數，可以發現系數有以下特點：x⁴的系數與常數項相同，x³的系數與x的系數相同，像這樣的方程我們稱為倒數方程．由　

　　例5 解方程

　　解 方程的左邊是平方和的形式，添項后可配成完全平方的形式．

　　經檢驗，x₁=-1，x₂=2是原方程的根．

　　例6 解方程

(x+3)⁴+(x+1)⁴=82．

　　分析與解 由于左邊括號內的兩個二項式只相差一個常數，所以設

(y＋1)⁴＋(y-1)⁴＝82，

y⁴+6y2^-40=0．

解這個方程，得y=±2，即

x+2=±2．

解得原方程的根為x₁=0，x₂=-4．

　　說明 本題通過換元，設y=x＋2后，消去了未知數的奇次項，使方程變為易于求解的雙二次方程．一般地，形如

(x＋a)⁴＋(x+b)⁴=c

　　例7 解方程

　　　　　x⁴-10x³-2(a-11)x²＋2(5a+6)x+2a+a²=0，其中a是常數，且a≥-6．

　　解 這是關于x的四次方程，且系數中含有字母a，直接對x求解比較困難(當然想辦法因式分解是可行的，但不易看出)，我們把方程寫成關于a的二次方程形式，即

　　　　a²-2(x²-5x-1)a+(x⁴-10x³＋22x²+12x)=0，

　　　　△=4(x²-5x-1)²-4(x4-10x³＋22x²＋12x)

　　　　　=4(x²-2x+1)．

a=x²-4x-2或a=x²-6x．

從而再解兩個關于x的一元二次方程，得

　　1．填空：

　　(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根為_______．

　　(2)方程x³-3x＋2=0的根為_____．

　　(3)方程x⁴+2x³-18x²-10x+25=0的根為_______．

　　(4)方程(x²+3x-4)²＋(2x²-7x＋6)²=(3x²-4x+2)²的根為______．

　　2．解方程

(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x⁴．

　　3．解方程

x⁵＋2x⁴-5x³＋5x²-2x-1=0．

　　4．解方程　

　　5．解方程

(x+2)⁴+(x-4)⁴=272．

　　6．解關于x的方程

x³+(a-2)x²-(4a+1)x-a²＋a+2=0．

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