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來源：初中數學競賽 2005-09-09 16:22:23
1．二元二次方程組
解二元二次方程組的基本途徑是“消元”和“降次”．
由一個二次和一個一次方程組成的二元二次方程組的一般解法是代入法，由兩個二次方程組成的二次方程組在中學階段只研究它的幾種特殊解法．
如果兩個方程的二次項的對應系數成比例，可用加減消元法消去二次項．
例1 解方程組
解 ②×2-①×3得
4x＋9y-6＝0．
方程組中含有某一未知數的對應項的系數的比相等，可用加減消元法消去這個未知數．
例2 解方程組
解 ②×(-2)+①得
3y2+3y-6=0，
所以 y1=1，y2=-2．
解方程組
與
得原方程組的解
方程組中至少有一個方程可以分解為一次方程的方程組，可用因式分解法解．
例3 解方程組
解 由②得
(2x+y)(x-2y)=0，
所以 2x+y=0或x-2y=0．
因此，原方程組可化為兩個方程組
與
解這兩個方程組得原方程組的解為
如果兩個方程都沒有一次項，可用加減消元法消去常數項，再用因式分解法求解．
例4 解方程組
解 由①-②×2得
x2-2xy-3y2=0，
即 (x+y)(x-3y)=0，
所以 x＋y=0或x-3y=0．
分別解下列兩個方程組
得原方程組的解為
2．二元對稱方程組
方程中的未知數x，y互換后方程保持不變的二元方程叫作二元對稱方程．例如
x2-5xy＋y2-3x-3y=7，
等都是二元對稱方程．
由二元對稱方程組成的方程組叫作二元對稱方程組．例如
等都是二元對稱方程組．
我們把
叫作基本對稱方程組．基本對稱方程組通常用代入法或韋達定理求解．
例5 解方程組
解 方程組中的x，y分別是新方程
m2-5m+4=0
的兩個解．解關于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程組的解是
這個方程組亦可用代入法求解(略)．
由于一般的二元對稱式總可以用基本對稱式x+y和xy表示，因此在解二元對稱方程組時，一定可以用x＋y和xy作為新的未知數，通過換元轉化為基本對稱方程組．
例6 解方程組
解 原方程組可變形為
①×2＋②得
令u=x＋y，則
即
而方程組
無實數解．
綜上所述，方程組的解為
例7 解方程組
分析 本題是一個對稱方程組的形式，觀察知它可轉化為基本對稱方程組的形式．
解 由①得
xy=16． ④
由②，④可得基本對稱方程組
于是可得方程組的解為
例8 解方程組
分析 本題屬于二元輪換對稱方程組類型，通常可以把兩個方程相減，因為這樣總能得到一個方程x-y=0，從而使方程降次化簡．
解 ①-②，再因式分解得
(x-y)(x+y-10)=0，
所以 x-y-0或x＋x-10=0．
解下列兩個方程組
得原方程組的四組解為
例9 解方程組
解法1 用換元法．設
4x＋5=A，4y+5=B，
則有
即
③-④并平方得
整理得
所以
因此A-B=0或
分別解下列兩個方程組
與
經檢驗，A=B=9適合方程③，④，由此得原方程組的解是
解法2 ①-②得
即
所以x-1與y-1同號或同為零．由方程①得
所以x-1與y-1不能同正，也不能同負．從而
x-1=0，y-1=0．
由此解得
經檢驗，x=1，y=1是方程組的解．
練習四
1．填空：
(1)方程組
的解有_____組．
(2)若x，y是方程組
(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，則2a+c=_____．
(4)已知實數x，y，z滿足方程組
則xyz=________．
2．解方程組：
3．設a，b，c，x，y，z都是實數．若
4．已知一元二次方程
a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0
有兩根0，1，求a∶b∶c．
5．(1)解方程組
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