第七講 函數的最大值與最小值

我們常常遇到求最大值和最小值的問題，在許多情況下可以歸結為求函數的最大值與最小值．這類問題涉及的知識面廣，綜合性強，解法靈活，因而對于培養學生的數學能力具有重要作用．本講從四個方面來討論如何求解函數的最大值與最小值問題．

　　1．一次函數的最大值與最小值

　　一次函數y=kx＋b在其定義域(全體實數)內是沒有最大值和最小值的，但是，如果對自變量x的取值范圍有所限制時，一次函數就可能有最大值和最小值了．

　　例1 設a是大于零的常數，且a≠1，求y的最大值與最小值．

　　　

　　　

大值a．

　　　

　

　　例2 已知x，y，z是非負實數，且滿足條件

x＋y＋z=30，3x+y-z=50．

　　求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．

　　分析 題設條件給出兩個方程，三個未知數x，y，z，當然，x，y，z的具體數值是不能求出的．但是，我們固定其中一個，不妨固定x，那么y，z都可以用x來表示，于是u便是x的函數了．

　　解 從已知條件可解得

y=40-2x，z=x-10．

　　所以

　　u=5x＋4y+2z

　　 ＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)

　　　=-x+140．

　　又y，z均為非負實數，所以

　　　　　　　　　　　　

　　解得10≤x≤20．

　　由于函數u=-x＋140是隨著x的增加而減小的，所以當x=10時，u有最大值130；當x=20時，u有最小值120．　　

　　2．二次函數的最大值與最小值

　　例3 已知x¹，x₂是方程

x²-(k-2)x＋(k²+3k+5)=0

　　

　　解 由于二次方程有實根，所以

△=[-(k-2)]²-4(k²+3k+5)≥0，

3k²＋16k＋16≤0，

　　　

　　　

　　例4 已知函數

　

　　有最大值-3，求實數a的值．

　

　　解 因為

　

　　的范圍內分三種情況討論．

　　　

-a²＋4a-1＝-3

　　

　　

　

　　

　　　

　　　

　　　

　　例5 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖3－12)，其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．

　

　　解 設矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面積

S=xy，2≤X≤4．

　　易知CN=4-x，EM=4-y，且有

　　　　　　　　　　　

　　　

　　　

　　二次函數S=f(x)的圖像開口向下，對稱軸為x=5，故當x≤5時，函數值是隨x的增加而增加，所以，對滿足2≤x≤4的S來說，當x=4時有最大值

　　

　　例6 設p＞0，x=p時，二次函數f(x)有最大值5，二次函數g(x)的最小值為-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x²+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．

　　解 由題設知

f(p)=5，g(p)=25，

f(p)＋g(p)=p²＋16p＋13，

　　所以 p²＋16p+13=30，

p=1(p=-17舍去)．

　　由于f(x)在x=1時有最大值5，故設

f(x)=a(x-1)²+5，a＜0，

　　所以

　　　　g(x)=x²+16x+13-f(x)

　　　　　　=(1-a)x²+2(a＋8)x＋8-a．

　　由于g(x)的最小值是-2，于是

　　解得a=-2，從而

g(x)=3x²＋12x＋10．

　　3．分式函數的最大值與最小值

　　法是去分母后，化為關于x的二次方程，然后用判別式△≥0，得出y的取值范圍，進而定出y的最大值和最小值．

　　

　　解 去分母、整理得

(2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0．

　　△≥0，即

△=[2(y+1)]²-4(2y-1)(y＋3)≥0，

　　解得　　　　　-4≤y≤1．

　　時，取最小值-4，當x=-2時，y取最大值1．

　　說明 本題求最值的方法叫作判別法，這也是一種常用的方法．但在用判別法求最值時，應特別注意這個最值能否取到，即是否有與最值相應的x值．

　　

　　解 將原函數去分母，并整理得

yx²-ax＋(y-b)＝0．

　　因x是實數，故

△=(-a)²-4?y?(y-b)≥0，

　　

　　由題設知，y的最大值為4，最小值為-1，所以

(y+1)(y-4)≤0，

　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　y²-3y-4≤0．　　 ②

　　由①，②得

　　　　　

　　

　　所以a=±4，b=3．

　　4．其他函數的最大值與最小值

　　處理一般函數的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計上界或下界，進而構造例子來說明能取到這個上界或下界．

　　

　　解 先估計y的下界．

　　又當x=1時，y=1，所以，y的最小值為1．

　　說明 在求最小(大)值，估計了下(上)界后，一定要舉例說明這個界是能取到的，才能說這就是最小(大)值，否則就不一定對了．例如，本題我們也可以這樣估計：

　　但無論x取什么值時，y取不到-3，即-3不能作為y的最小值．

　　例10 設x，y是實數，求u=x²＋xy+y²-x-2y的最小值．

　　分析 先將u看作是x的二次函數(把y看作常數)，進行配方后，再把余下的關于y的代數式寫成y的二次函數，再配方后，便可估計出下界來．

　　

　　又當x=0，y=1時，u=-1，所以，u的最小值為-1．

　　例11 求函數

　　　　　　　　　

　　的最大值，并求此時的x值，其中[a]表示不超過a的最大整數．

　　　

　　　

　

　　

練習七

　　1．填空：

　　(1)函數y=x²＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．

　　

　　(3)已知函數y=x²+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，則a=_____．

　　是_______．

　　(5)設函數y=-x²-2kx-3k²-4k-5的最大值是M，為使M最大，k=_____．

　　

　　2．設f(x)=kx＋1是x的函數，以m(k)表示函數f(x)=kx＋1在-1≤x≤3條件下的最大值，求函數m(k)的解析式和其最小值．

　　3．x，y，z是非負實數，且滿足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值與最小值．

　　4．已知x²＋2y²=1，求2x＋5y²的最大值和最小值．

　　交點間的距離的平方最小，求m的值．

　　6．已知二次函數y=x²＋2(a＋3)x＋2a＋4的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標分別為α，β，當實數a變動時，求(α-1)²＋(β-1)²的最小值．

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