二次函數拋物線的性質

　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

　　當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

　　可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

　　事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ= b^2;-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ= b^2;-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　_______

　　Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

　　當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

　　當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

　　7.特殊值的形式

　　①當x=１時 y=a+b+c

　　②當x=-1時 y=a-b+c

　　③當x=2時 y=4a+2b+c

　　④當x=-2時 y=4a-2b+c

　　8.定義域：R

　　值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）

　　奇偶性：偶函數

　　周期性：無

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；

　　⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，圖象與x軸交于一點：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，圖象與x軸無交點；

　　②y=a(x-h)^2+k[頂點式]

　　此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）

　　對稱軸X=(X1-X2)/2 當a>0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦（X1+X2）/2時Y隨X的增大而減小

　　此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。

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