絕對值不等式性質及公式

　絕對值不等式

　　簡介

　　在不等式應用中，經常涉及重量、面積、體積等，也涉及某些數學對象（如實數、向量）的大小或絕對值。它們都是通過非負數來度量的。

　　公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

　　性質

　　|a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。

　　兩個重要性質：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

　　2.|a|＜|b| 可逆 a²＜b²

　　另外

　　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時左邊等號成立，ab≥0時右邊等號成立。

　　|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時左邊等號成立，ab≤0時右邊等號成立。

　　幾何意義

　　1.當a，b同號時它們位于原點的同一邊，此時a與﹣b的距離等于它們到原點的距離之和。 2.當a，b異號時它們分別位于原點的兩邊，此時a與﹣b的距離小于它們到原點的距離之和。

　　(|a+b|表示a-b與原點的距離，也表示a與b之間的距離)

　　絕對值重要不等式

　　我們知道

　　|a|={a，(a＞0)， a，（a=0)， ﹣a，（a＜0)，}

　　因此，有

　　﹣|a|≤a≤|a|

　　﹣|b|≤b≤|b|

　　同樣地

　　①，②相加得

　　﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

　　即 |a+b|≤|a|+|b|

　　顯而易見，a，b同號或有一個為0時，③式等號成立。

　　由③可得

　　|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，

　　即 |a|-|b|≤|a+b|

　　綜合③，④我們得到有關絕對值（absolute value)的重要不等式

　　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
 

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