2019初中物理光學之函數法推導凸透鏡成像規律

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　　【題】 如右圖 ，用函數法證明1/u+1/v=1/f。

　　【解】右圖為凸透鏡成像示意圖。

　　其中c為成像的物體長度，d為物體成的像的長度。u為物距，v為像距，f為焦距。

　　步驟

　�。ㄒ唬�為便于用函數法解決此問題，將凸透鏡的主光軸與平面直角坐標系的橫坐標軸（x軸）關聯（即重合），將凸透鏡的理想折射面與縱坐標軸（y軸）關聯，將凸透鏡的光心與坐標原點關聯。則：點A的坐標為（-u,c），點F的坐標為（f,0），點A'的坐標為（v,-d），點C的坐標為（0，c）。

　�。ǘ�）將AA’，A'C雙向延長為直線l1,l2，視作兩條函數圖象。由圖象可知：直線l1為正比例函數圖象，直線l2為一次函數圖象。

　�。ㄈ�）設直線l1的解析式為y=k1x,直線l2的解析式為y=k2x+b

　　依題意，將A(-u,c),C(0,c),F(f,0)代入相應解析式得方程組：

　　c=-u·k1

　　c=b

　　0=k2f+b

　　把k1,k2當成未知數解之得：

　　k1=-(c/u), k2=-(c/f)

　　∴兩函數解析式為：

　　y=-(c/u)x, y=-(c/f)x+c

　　∴兩函數交點A'的坐標（x,y)符合方程組

　　y=-(c/u)x

　　y=-(c/f)x+c

　　∵A'(v,-d)

　　∴代入得：

　　-d=-(c/u)v

　　-d=-(c/f)v+c

　　∴-(c/u)v=-(c/f)v+c=-d

　　∴(c/u)v=(c/f)v-c=d

　　cv/u=(cv/f)-c

　　fcv=ucv-ucf

　　fv=uv-uf

　　∵uvf≠0

　　∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf)

　　∴1/u=1/f-1/v

　　即：1/u+1/v=1/f

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