2019年中考數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)：三個城市

阿靈頓、布明漢和坎頓韋爾這三個城市，它們的形狀都呈長方形。

1)每個城市沿邊界街段指兩條平行街道之間的一段街道)的數(shù)目都是整數(shù)，而且市內(nèi)街段總是都與沿邊界的街段平行。

2)沿城市北部邊界的街段的數(shù)目，阿靈頓最少，布明漢比阿靈頓多3段，坎頓韋爾又比布明漢多3段。

3)有兩個城市，它們市內(nèi)街段的數(shù)目，等于沿整個邊界的街段的數(shù)目。

哪個城市其市內(nèi)街段的數(shù)目不等于沿整個邊界的街段的數(shù)目?

提示：列出表示一個城市沿整個邊界的街段的數(shù)目的代數(shù)式和表示市內(nèi)街段的數(shù)目的代數(shù)式;然后求出使兩者相等的整數(shù)解。)

答 案

如上圖所示，對于{3)有兩個城市，它們市內(nèi)街段的數(shù)目，等于沿整個邊界的街段的數(shù)目。}中所指的兩個城市，以X代表其長方形城區(qū)一條邊界上的街段數(shù)目，以Y代表另一條邊界上的街段數(shù)目。于是整個邊界的街段數(shù)目等于

X+Y+X+Y，即2X+2Y

而市內(nèi)街段的數(shù)目等于

XY-1)+YX-l)，即XY-X)+XY-Y)

根據(jù)3)，對于兩個城市而言

2X+2Y=XY-X+XY-Y

解出X，

X=3Y/2Y—3)，

解出Y，

Y=3X/2X-3)。

這表明X和Y都得大于l。依次設(shè)Y為2、3、4、5、6和7，得出下列數(shù)值：

YX

26

33

412/5

57/15

62

721/11

既然X必須大于1，而且根據(jù){1)每個城市沿邊界街段指兩條平行街道之間的一段街道)的數(shù)目都是整數(shù)，而且市內(nèi)街段總是都與沿邊界的街段平行。}必須是整數(shù)，那么除了上列中的整數(shù)之外，X再也沒有別的整數(shù)值了。

根據(jù)l)和上列數(shù)值，這兩個城市沿一側(cè)邊界的街段數(shù)目都

是2、3或6。根據(jù){2)沿城市北部邊界的街段的數(shù)目，阿靈頓最少，布明漢比阿靈頓多3段，坎頓韋爾又比布明漢多3段。}，沿北部邊界，阿靈頓有3個街段，布明漢有6個街段，坎頓韋爾有9個街段。

由于沿北部邊界有9個街段的城市，不可能滿足表示條件3)的方程，所以坎頓韋爾就是那個市內(nèi)街段數(shù)目不等于沿邊界街段數(shù)目的城市。

總而言之，阿靈頓的沿邊界街段和市內(nèi)街段的數(shù)目都是12，而布明漢的這兩個數(shù)目都是16。

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