2019中考數學為螞蟻找捷徑

今天，我帶大家去幫螞蟻的忙，為它找捷徑。大家知道捷徑怎么找嗎?我們可借助長方體(或圓柱體)的側面展開圖，通過運用勾股定理、兩點之間線段最短等數學知識來解決這個問題。

例1. 如圖1，長方體的高為3cm，底面是正方形且邊長為2cm。現有一只螞蟻從A點出發，沿長方體表面到達C點，螞蟻行走的最短路線的長是()

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm

圖1

分析：這類問題的解法通常都是將幾何體表面展開，求展開圖中有關兩點之間的最短距離。大家一定要注意展開圖中點的相應位置。本題可將該長方體的右表面翻折至前表面，使得A、C兩點共面，如圖2，連接AC，此時線段AC的長度即為最短路線的長(假如把上表面翻折至前表面，這時線段AC的長度是否為最短?請同學們考慮一下、比較一下)。

圖2

解：因為

所以螞蟻行走的最短路線的長是5cm。選B。

例2. 如圖3，有一個圓錐，其高為8cm，底面直徑為12cm。在圓錐的底面圓周上B點有一只螞蟻，它想吃掉圓錐頂點A處的食物，則它沿圓錐表面需要爬行的最短路程是()

A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm

圖3

分析：要求螞蟻需要爬行的最短路程，由兩點之間線段最短可知，線段AB的長就應當是螞蟻爬行的最短路程。可設圓錐底面的圓心為O，連接OA、OB、AB，則可構成一個直角三角形，利用勾股定理即可求出AB的長。

解：設圓錐底面圓心為O，連接OA、OB、AB，則△ABO是一個直角三角形，如圖4，且 。

故

故螞蟻需要爬行的最短路程是10cm。選C。

圖4

例3. 如圖5，圓柱體的底面周長為24cm，高為5cm，BC為底面直徑。一只螞蟻從點A出發一直沿著圓柱體的側面爬行到點C，它爬行的最短路程是()

A. 6cm B. 12cm C. 13cm D. 16cm

圖5

分析：假設把這個圓柱體的側面沿著AB剪開，攤平，連接AC，如圖6，則A、C兩點間的最短路線的長就是線段AC的長，也即為螞蟻沿側面爬完全程的最短路線的長。由題意可知AB=5cm，BC等于底面圓周長的一半，即BC=12cm。#p#分頁標題#e#

圖6

故在Rt△ABC中， 。故螞蟻爬行的最短路程是13cm。選C。

注：如果可以沿底面爬行，則沿A

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