2019年中考數(shù)學(xué)螞蟻覓捷徑

螞蟻覓捷徑;問題，融知識(shí)性和趣味性于一體，有利于提高同學(xué)們的空間想象能力，培養(yǎng)同學(xué)們的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。現(xiàn)選取幾例供大家參考。

例1 如圖1，一只螞蟻要從棱長為1的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿著表面爬到與它相距最遠(yuǎn)的另一個(gè)頂點(diǎn)G。螞蟻爬行的最短路程是多少?

圖1

分析解答：解答;螞蟻覓捷徑;問題最關(guān)鍵的就是確定最短爬行路線。對(duì)于本題，有的同學(xué)可能會(huì)認(rèn)為最短路程是 或 等。這些都是錯(cuò)誤的。

本題要求同學(xué)們展開自己的空間想象能力，把正方體沿FG、GC、BC剪開，使面BCGF與面ABFE在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖2所示，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最短路程就是 的斜邊AG之長兩點(diǎn)之間線段最短)。利用勾股定理易得 ，所以螞蟻爬行的最短路程為 。

圖2

不過，路線可不止一條，你還能再找出來嗎?

不難發(fā)現(xiàn)，若正方體的棱長為a，最短路程就是 。當(dāng)螞蟻在正方體內(nèi)時(shí)，最短路線有6條，它們都同樣是 。

例2 如圖3，一只螞蟻從長、寬、高分別為5，4，3的長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿著表面爬行到與之最遠(yuǎn)的另一個(gè)頂點(diǎn)G，最短路程是多少?

圖3

分析解答：通過解答例1給的啟發(fā)，對(duì)此問題，將有六種方式對(duì)長方體表面進(jìn)行剪開鋪平求解。究竟哪條線路最短，下面逐一解答再比較。

1)剪開FG、GC、CB鋪平得 。

2)剪開HG、GC、CD鋪平得#p#分頁標(biāo)題#e# 。

3)剪開EF、FG、GH鋪平得 。

4)剪開FB、FG、CG鋪平得 。

5)剪開FG、GH、HE鋪平得 。

6)剪開DH、HG、GC鋪平得 。

因此最短路程為 ，這樣的路線有兩條。

由此知道，若長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且 時(shí)，最短路程就是 。

例3 如圖4，一只螞蟻繞圓柱一周從母線AB的端點(diǎn)A爬到B點(diǎn)。若圓柱的高為 ，底面半徑為2，求螞蟻爬行的最短路程。

圖4

分析解答：將圓柱側(cè)面沿母線AB剪開展平得圖5，則螞蟻沿圖5中的路線AB;爬行是最短路線。在 中， ，由勾股定理得 。這樣的路線有兩條。

圖5

想一想，如果螞蟻從圖4中的A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬到上底面的C點(diǎn)，你能求出最短路程嗎?這樣的路線有幾條?

例4 如圖6，一個(gè)圓錐底面半徑為10，母線長為30，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬行一周回到A點(diǎn)，所走過的最短路程是多少?

圖6

分析解答：把圓錐的側(cè)面沿母線AB剪開再展平得圖7，則所求最短路線就是圖7中線段#p#分頁標(biāo)題#e# 的長度。

圖7

因?yàn)?/p>

所以 。

在Rt△ABC中，已知 ， ，

由三角函數(shù)知識(shí)或勾股定理均可得到 。其路線有兩條。

例5 如圖8，已知圓錐底面半徑為5，母線長為20。一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞行一周到母線AB中點(diǎn)C處，它爬行的最短路程是多少?

圖8

分析與解答：將圓錐的側(cè)面沿母線AB剪開再展平得圖9，則所求長度為圖9中AC的長。

圖9

在△ABC中， 。

已知 ，根據(jù)勾股定理得 。路線同樣有兩條。

想一想，當(dāng)其條條件不變，如果∠ABC是銳角或鈍角，你能求出最短路程嗎?如果告訴圓錐底面半徑和高，你還能求出最短路程嗎?不妨試一試。

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