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來源：網絡資源 作者：中考網整理 2019-05-01 17:39:51
圓與圓位置關系是初中幾何的一個重要內容，也是學習中的難點，本文介紹圓與圓的位置關系中常見的五種輔助線的作法。
1. 作相交兩圓的公共弦
利用圓內接四邊形的性質或公共圓周角，溝通兩圓的角的關系。
例1. 如圖1，⊙O 1
和⊙O 2
相交于A、B兩點，過A、B分別作直線CD、EF，且CD//EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CE=DF。
圖1
分析：CE和DF分別是⊙O 1
和⊙O 2
的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結AB，則可得圓內接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內接四邊形的性質，則易證明。
證明：連結AB
因為
又
所以
即CE//DF
又CD//EF
所以四邊形CEFD為平行四邊形
即CE=DF
2. 作兩相交圓的連心線
利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構造直角三角形，解決有關的計算問題。
例2. ⊙O 1
和⊙O 2
相交于A、B兩點，兩圓的半徑分別為 和 ，公共弦長為12。求 的度數。
圖2
分析：公共弦AB可位于圓心O 1
、O 2
同側或異側，要求 的度數，可利用角的和或差來求解。
解：當AB位于O 1
、O 2
異側時，如圖2。
連結O 1
、O 2
，交AB于C，則 。分別在 和#p#分頁標題#e# 中，利用銳角三角函數可求得
故
當AB位于O 1
、O 2
同側時，如圖3
圖3
則
綜上可知 或
3. 兩圓相切，作過切點的公切線
利用弦切角定理溝通兩圓中角的關系
例3. 如圖4，⊙O 1
和⊙O 2
外切于點P，A是⊙O 1
上的一點，直線AC切⊙O 2
于C，交⊙O 1
于B，直線AP交⊙O 2
于D。求證PC平分 。
圖4
分析：要證PC平分 ，即證
而 的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。
若過P作兩圓的公切線PT，與AC交于T
易知
由弦切角定理，得
又 是 的一個外角
所以
又 #p#分頁標題#e#
從而有
即PC平分
4. 兩圓相切，作連心線
利用連心線經過切點的性質，解決有關計算問題。
例4. 如圖5，⊙O 1
與半徑為4的⊙O 2
內切于點A，⊙O 1
經過圓心O 2
，作⊙O 2
的直徑BC，交⊙O 1
于點D，EF為過點A的公切線，若 ，求 的度數。
圖5
分析： 是弦切角，要求其度數，需將其轉化為圓周角或圓心角，因此連結O 1
O 2
、O 1
A，則O 1
O 2
必過點A，且O 2
A為⊙O 1
的直徑，易知 。
連結DA，則
于是
又 為銳角
所以
從而有
5. 過小圓圓心作大圓半徑的垂線
有關公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構造直角三角形。
例5. 如圖6，⊙O 1
與⊙O 2
外切于點O，兩外公切線PCD和PBA切⊙O 1
、⊙O 2
于點C、D、B、A，且其夾角為 ， ，求兩圓的半徑。#p#分頁標題#e#
圖6
分析：如圖6，連結O 1
O 2
、O 1
A、O 2
B，過點O 2
作 ，構造 ，下面很容易求出結果。
請同學們自己給出解答。
答案：兩圓的半徑分別為3和1)
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