2019年中考趣味數(shù)學(xué)：安東尼的名次

安東尼、伯納德和查爾斯三人參加了幾項(xiàng)田徑比賽。

1)每項(xiàng)比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。

2)并列同一名次者，都得到與該名次相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

3a)把每人在撐竿跳、跳遠(yuǎn)和跳高比賽中的得分加起來得到一個(gè)個(gè)人總分，結(jié)果這三人的個(gè)人總分都一樣。

3b)把這三人在某項(xiàng)比賽中的得分加起來得到一個(gè)團(tuán)體分，結(jié)果三個(gè)項(xiàng)目的團(tuán)體分都一樣，而且這個(gè)團(tuán)體分與上述的個(gè)人總分相等。

4)在撐竿跳比賽中沒有出現(xiàn)得分相同的情況。

5)安東尼和查爾斯在跳遠(yuǎn)比賽中得分相同。

6)安東尼和伯納德在跳高比賽中得分相同。

7)在這三項(xiàng)比賽中，伯納德有一項(xiàng)沒有得分，查爾斯也有一項(xiàng)沒有得分。

在撐竿跳比賽中，安東尼得了第幾名?

提示：找出一個(gè)每一行的和與每一列的和都相等的3×3方陣，即可判定出安東尼在撐竿跳比賽中的名次。為此，用代數(shù)方法表示安東尼和查爾斯在跳遠(yuǎn)比賽中的得分，以及安東尼和伯納德在跳高比賽中的得分。)

答 案

這三人在三項(xiàng)比賽中的得分可以記入如下的3×3方陣：

根據(jù)3a)和3b)，這個(gè)方陣中每一行的和與每一列的和必須都等于同一個(gè)數(shù)。根據(jù)2)和5)，設(shè)安東尼和查爾斯在跳遠(yuǎn)比賽中的得分為b。根據(jù)2)和6)，設(shè)安東尼和伯納德在跳高比賽的得分為h。根據(jù)l)和2)，b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h組合起來共有十六對(duì)可能的數(shù)值。

如果b=h即兩者同時(shí)是0、1、2或3)，則為了滿足3a)和3b)，方陣變成：

這種情況與{4)在撐竿跳比賽中沒有出現(xiàn)得分相同的情況。}矛盾，因而是不可能的。

如果b=0而h不等于0b=0，h=1;b=0，h=2;b=0，h=3)，則為了滿足3b)，第二列的和必須等于第三列的和。

為了滿足{3b)把這三人在某項(xiàng)比賽中的得分加起來得到一個(gè)團(tuán)體分，結(jié)果三個(gè)項(xiàng)目的團(tuán)體分都一樣，而且這個(gè)團(tuán)體分與上述的個(gè)人總分相等}，第二行的和必須等于每一列的和。但是第二行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，因此這種情況是不可能的。

如果h=0而b不等0b=l，h=0;b=2，h=0;b=3，h=0)，則為了滿足3b)，第三列的和必須等于第二列的和。

為了滿足3b)，第三行的和必須等于每一列的和。但是第三行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，因此這種情況是不可能的。

如果b=l，h=3，則為了滿足3b)，第二列的和必須等于第三列的和。#p#分頁標(biāo)題#e#

這種情況與{1)每項(xiàng)比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。}矛盾，因?yàn)閍不能小于0，從而a+4至少等于4。再者，第二行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，這與3b)矛盾。)因此這種情況是不可能的。

如果b=3，h=l，則為了滿足3b)，第三列的和必須等于第二列的和。

這種情況與前一種類似，所以是不可能的。

如果b=2，h=3，則為了滿足3b)，第二列的和必須等于第三列的和。

為了滿足3b)，第三行的和必須等于每一列的和。于是，查爾斯在撐竿跳比賽中必須得到4分，但這與l)矛盾。因此這種情況是不可能的。

如果b=3，h=2，則為了滿足3b)，第二列的和必須等于第三列的和。

這種情況與前一種類似，所以是不可能的。

如果b=1，h=2，或者b=2，h=1它們是剩下的僅有可能)，則為了滿足3a)和3b)，方陣變成下列二者之一：

本題的要求是求出a+l的值這是上述兩個(gè)方陣中唯一相同的記錄)：a不能大于0，否則與{7)在這三項(xiàng)比賽中，伯納德有一項(xiàng)沒有得分，查爾斯也有一項(xiàng)沒有得分。}矛盾;因此a必須等于0。于是a+l=l。

由于1分是第三名的得分，所以安東尼在撐竿跳比賽中得了第三名。

總結(jié)起來，得分的情況是下列二者之一：

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