數學概念具有抽象性和具體性的雙重特點

　　數學概念具有抽象性和具體性的雙重特點，弄清楚概念的內涵和外延是正確思維的必要條件，也是判斷、推理的基礎，各種思維要素的合理使用，往往都脫離不開基本的數學概念，學好數學，一定要養成深摳概念的好習慣，把概念理解得生動、形象、具體、深入淺出。為達此目的，應強調學習數學概念“九要”：

 

　　1.復雜概念要突出“關鍵詞語”，如“映射”這個重要概念要抓住方向性：“從集合A到集合B”，同時還要抓住“任一”對應“唯一”。

 

　　2.相應概念容易混淆，要注意類比，如排列與組合的差異是“序”，“截距”和“距離”的區別是“向”;二面角是圖形，二面角的平面角是一個角。

 

　　3.正反結合揭示概念的本質。如函數、反函數的概念，曲線和方程的概念，只有做兩面思考，才能深入體會。再如反三角函數概念，實際上就是在指定單調區間上的三角函數與其反函數的關系。

 

　　4.要注意概念的引入過程。如立體幾何的任何一個概念的引入都有豐富的直觀背景;排列組合問題用“對號入座法”或畫樹圖都是在告訴我們如何思考，規律是怎樣找到的。等差、等比數列前n項和公式的推導過程告訴我們“倒寫求和法”和“錯位相消法”。

 

　　5.掌握新概念要注意溫故知新。如充要條件是非常重要的數學概念，它只有在理解掌握四個命題的基礎上，深入研究命題之間的相互關系，順理成章把認識升華，樹立起等價思想，才能學會用充要條件分析、認識、處理數學問題。簡易邏輯關系是數學基礎的一個“魂”。

 

　　6.鞏固和運用數學概念，特別是在運算、推理、選擇、證明中，要注意自覺地讓概念發生作用。如證函數的單調性、奇偶性、周期性，證明一個數列是等差(比)數列，用的方法都是“定義法”;解數學選擇題經常通過“概念判斷”否掉一些選項;學習好立體幾何的標志是空間概念的形成。同學們一定要走出“學數學就是解題”的誤區，掌握好“四基”：基本概念、基本運算、基本方法、基本應用，才是扎扎實實打基礎。

 

　　7.概念的抽象性是逐步加深、連續發展的，要抓住這一特點，不斷深化自己對概念的理解，如平面幾何中用兩點間距離定義點到直線的距離，平行線間的距離，進而得到立體幾何中的一大難點——異面直線的距離，對距離的認識一般化了，若把向量復數的模及解析幾何中和距離有關的軌跡問題也納入自己的認知范疇，則距離就“活”起來了。再如函數概念從具體的正比例函數、一次函數入手，逐步上升到一般的數值函數概念;從“變量之間的相互關系”，到兩個集合間的“映射”，函數概念有層次地一次又一次地抽象，開始接近現代函數概念(只是開始接近，我們掌握的函數“三要素”并沒有完全反映函數的本質特征)，同學們學習了概率和微積分后，會感到隨處定義和單值對應更能反映函數的本質特征。

 

　　8.較難概念要逐步剖析，力求抽象問題具體化。如畫樹圖，從兩個圓的位置關系容易理解子集、交集、并集、補集、全集;簡易邏輯“或”“且”“非”也容易從中找到答案。認識變量、掌握函數特點、掌握研究函數的方法，數形結合，立即化難為易。

 

　　9.要注意發揮概念體系的整體功能。如函數是高中數學的綱，對函數的理解應用水平是學習高中數學成敗的關鍵;對“曲線與方程”五個字的雙向理解則抓住了全部解析幾何的精髓。函數與方程的思想，數形結合思想，分類思想，化歸或變換轉化的思想是駕馭數學知識的靈魂，充分發揮這些概念體系的整體功能，就真正做到了大處著眼，學習效果會倍增。