2022中考數學輔導：解析靈活的圓中角

資料圖1

資料圖2

資料圖3

角是幾何圖形中最重要的元素，是判斷三角形全等、三角形相似的重要條件，而圓的旋轉不變性和對稱性，又賦予了角極強的靈活性，使得角之間的相互轉化成為了解題的關鍵要素。

下面主要介紹圓心角、圓周角、圓內接四邊形的外角與內對角之間的相互轉化問題。特別指出在理解圓中角時，要注意角的頂點與圓的位置關系、角的兩邊與圓的位置關系;在運用圓中角時，要關注弧的中介作用。基本圖形如下：

(1)一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半;

(2)同弧或等弧所對的圓周角相等;

(3)直徑所對的圓周角是90°;

(4)圓內接四邊形外角等于內對角;

(5)圓內接四邊形，一條邊所對的兩個圓周角相等;

(6)如圖，像∠APB這樣頂點在圓內，兩邊都與圓相交的角我們定義為圓內角，由三角形外角的性質可以得到∠APB=∠ADB+∠CBD，即圓內角可以通過圓周角進行轉換，實質上∠APB=■(弧AB的度數+弧CD的度數);

(7)如圖，像∠APB這樣頂點在圓外，兩邊都與圓相交的角我們定義為圓外角，由三角形外角的性質可以得到∠APB=∠ADB-∠CBD，即圓外角可以通過圓周角進行轉換，實質上∠APB=■(弧AB的度數弧-CD的度數)。

例1.如圖，△ABC內接于⊙O，若∠OAB=28°，則∠C的大小為( )

A.28° B.56° C.60° D.62°

此題為2009年天津市中考題數學選擇第9題，具體解法為連結OB，△OAB為以圓心為頂點的等腰三角形，則∠OAB=∠OBA=28°，所以∠AOB=124°，結合基本圖形(1)，所以∠C=62°。

例2.已知，O是△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A的度數。

解：分兩種情況討論：

(1)當O在△ABC內部時：

∠A=■∠BOC=■×130°=65°

(2)當O在△ABC外部時：由∠BOC=130°，得劣弧■的度數130°，則■的度數=360°-130°=230°

∴∠A=115°

綜上所述∠A=65°或115°

此題意在考查基本圖形(1)及圓中一條弦所對的圓周角有兩種情況，提醒同學們特別注意由圓的特性導致的雙解題型。

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