2022年初中數學三角函數萬能公式

萬能公式

(1)

(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)

1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)

1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

(4)

對于任意非直角三角形,總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論

(5)

cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)

cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)

(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

三角函數萬能公式為什么萬能

萬能公式為：

設tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)

tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z)

就是說sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來表示,當要求一串函數式最值的時候,就可以用萬能公式,推導成只含有一個變量的函數,最值就很好求了.

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