2022年初中三角函數定理

1三角函數定理

正弦定理：

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D(r為外接圓半徑，D為直徑)。

一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑(半徑的2倍)長度。

余弦定理：

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

對于邊長為a、b、c而相應角為A、B、C的三角形則有：

①a²=b²+c²-2bc·cosA;

②b²=a²+c²-2ac·cosB;

③c²=a²+b²-2ab·cosC。

也可表示為：

①cosC=(a²+b²-c²)/2ab;

②cosB=(a²+c²-b²)/2ac;

③cosA=(c²+b²-a²)/2bc。

正切定理：

在三角形中，任意兩條邊的和除以第一條邊減第二條邊的差所得的商，等于這兩條邊對角的和的一半的正切除以第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。

對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形，有：

①(a-b)/(a+b)=[tan(A-B)/2]/[tan(A+B)/2];

②(b-c)/(b+c)=[tan(B-C)/2]/[tan(B+C)/2];

③(c-a)/(c+a)=[tan(C-A)/2]/[tan(C+A)/2]。

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