2023年初中數學二次函數的定義

二次函數的定義

注意：(1)二次函數是關于自變量的二次式，二次項系數a必須是非零實數，即a≠0，而b，c是任意實數，二次函數的表達式是一個整式;

(2)二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，自變量x的取值范圍是全體實數;

(3)當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數;

(4)一個函數是否是二次函數，要化簡整理后，對照定義才能下結論，例如y=x2-x(x-1)化簡后變為y=x，故它不是二次函數。

二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P(h，k)]

交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

3二次函數的頂點坐標公式

對于二次函數y=ax^2+bx+c

其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交點式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限于與x軸有交點A(x₁ ，0)和 B(x₂，0)的拋物線]

其中x1，2= -b±√b^2-4ac

頂點式：y=a(x-h)^2+k

[拋物線的頂點P(h，k)]

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2a= (x₁+x₂)/2 k=(4ac-b^2)/4a 與x軸交點：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

4二次函數的平移規律口訣

加左減右，加上減下。

意思就是當二次函數寫成下面這個樣子時：

y=a(x+b)²+c，只要將y=ax²的函數圖像按以下規律平移。

(1)b>0時，圖像向左平移b個單位(加左)。

(2)b<0時，圖像向右平移b個單位(減右)。

(3)c>0時，圖像向上平移c個單位(加上)。

(4)c<0時，圖像向下平移c個單位(減下)。

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

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