2023年初中數學：函數軸對稱性的理解

秒殺結論：

函數f(x)關于x=a對稱⇔⾃變量之和等于2a，函數值相等

反過來，如果⾃變量之和為常數，函數值相等，那就表明函數有軸對稱

⽐如f(a−x)=f(b+x)，其⾃變量之和為常數，函數值相等，因此就表示f(x)具有軸對稱，對稱軸為“⾃變量之和的⼀半”，即x=a+b2

記住結論⾮常有好處，可以讓我們寫出不同形式：⽐如題⽬告訴你f(2+x)=f(−4−x)，⻢上識別函數f(x)關于x=-1對稱，于是知道其意思是“⾃變量之和為-2，函數值相等”，于是我們可以隨便寫出其他形式的表達式，⽐如說：f(x)=f(−2−x)，⽽不⽤進⾏復雜的換元轉化.

題1：若f(x)關于x=2對稱，寫出能表達f(x)對稱性的四個等式

極簡分析：f(x)關于x=2對稱 ⾃變量之和等于4，函數值相等

和為4的⾃變量很多啊，⽐如說x和4-x，2+x和2-x，1-x和3+x，-1+2x和5-2x

于是：f(x)=f(4−x),f(2+x)=f(2−x),f(1−x)=f(3+x),f(−1+2x)=f(5−2x)

等等都能表達.

只要符合題意即可，還可以寫很多

題2：若f(x)滿⾜f(1−x)=f(−5+x)，則f(x)圖像關于____對稱

極簡分析：f(1−x)=f(−5+x)中的兩個⾃變量1-x和-5+x，它們的和等于-4

因此該式的含義就是“⾃變量之和等于-4，函數值相等”

其含義就是說函數 具有軸對稱

且對稱軸為x=−42=−2對稱.

題3：若f(x)圖像關于直線x=2對稱，當x<2時，f(x)=x2−x，則f(6)=_____.

極簡分析：函數圖像關于x=2對稱的意思，是“⾃變量之和等于4，函數相等”

因為6+(-2)=4，因此f(6)=f(−2)，因為f(−2)=(−2)2−(−2)=6

所以f(6)=6

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