2023年初中數(shù)學(xué)圖形法秒解含參二元一次方程組問題

我們今天要秒答的是一道含參二元一次方程組問題，題目如下：

已知a≠6，若方程組

的解x、y為正數(shù)，求a的范圍。

[思路分析]

這是一個(gè)典型的含參二元一次方程的解的問題，根據(jù)常規(guī)思路，先解方程，得到含有參數(shù)a的方程的解，然后另對(duì)應(yīng)的x、y大于零，求解a的范圍即可。

[解答]

以上常規(guī)解法屬于代數(shù)法，也不算太復(fù)雜，初二階段的同學(xué)要逐步適應(yīng)代數(shù)式的計(jì)算，包括等式和不等式。當(dāng)然，對(duì)于含參不等式，還要注意符號(hào)，考慮變號(hào)的問題。有時(shí)候稍微繁瑣一點(diǎn)，須注意不要出錯(cuò)。對(duì)于本題，采用圖形解法要方便快捷不少。

教材上說：“一般地，以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖像，與相應(yīng)的一次函數(shù)的圖像相同，是一條直線”，教材上還說：“一般地，從圖形的角度看，...解一個(gè)二元一次方程組相當(dāng)于確定相應(yīng)的兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)”。

據(jù)此，有以下圖形解法，請(qǐng)看解析。

[解析]

1. 由題意，方程組的解為正數(shù)，從圖形角度看，就是相應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)在第一象限內(nèi)。因此我們先把原方程組做個(gè)變換，得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一次函數(shù)的解析式形式：

可見，這兩條直線的截距都是固定的，其中一條直線為定直線，另一條直線的斜率隨參數(shù)a變化。

2. 易得，定直線與x、y軸的交點(diǎn)分別為(2，0),(0，3)，動(dòng)直線與y軸的交點(diǎn)位(0，2)，畫出兩條直線，如下圖：

3. 觀察圖像可以看出，根據(jù)參數(shù)a不同，動(dòng)直線繞點(diǎn)(0，2)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)兩直線交于點(diǎn)(2，0)，動(dòng)直線斜率為-1，如圖中紅線所示。若動(dòng)直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，斜率增加，交點(diǎn)就一定在第一象限，否則交點(diǎn)在二或四象限，故有：

當(dāng)原方程組的解x、y為正數(shù)時(shí)，動(dòng)直線斜率大于-1，即−a4>−1

可得a<4

提示1：理解函數(shù)圖像與方程式的關(guān)系非常重要，特別是初二年級(jí)剛接觸到函數(shù)的概念，這個(gè)概念不容易建立起來，需要多加練習(xí)。

提示2：本題圖像解法需要深入理解并熟練應(yīng)用一次函數(shù)斜率與截距的幾何意義。

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