2023年初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值4種解法及專題經(jīng)典練習(xí)題

題目

如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1，0)，B(-3，0)兩點(diǎn)。

(1)求該拋物線的解析式;(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小?若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。解答：(1)拋物線解析式為y=-x2-2x+3; (2)Q(-1，2);

下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法.

解法1

補(bǔ)形、割形法

幾何圖形中常見(jiàn)的處理方式有分割、補(bǔ)形等，此類方法的要點(diǎn)在于把所求圖形的面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)或割，變成有利于表示面積的圖形。

方法一如圖3，設(shè)P點(diǎn)(x，-x2-2x+3)(-3

方法二 如圖4，設(shè)P點(diǎn)(x，-x2-2x+3)(-3

(下略.)

解法2

“鉛垂高，水平寬”面積法

如圖5，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”，我們可得出一種計(jì)算三角形面積的另一種方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。

根據(jù)上述方法，本題解答如下：解 如圖6，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.

設(shè)P點(diǎn)(x，-x2-2x+3)(-3

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-3/2，15/4)

解法3

切線法

若要使△PBC的面積最大，只需使BC上的高最大.過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)(即點(diǎn)P)時(shí)，BC上的高最大，此時(shí)△PBC的面積最大，于是，得到下面的切線法。解 如圖7，直線BC的解析式是y=x+3，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，從而可設(shè)直線l的解析式為：y=x+b.

=27/8

解法4

三角函數(shù)法

本題也可直接利用三角函數(shù)法求得.解 如圖8，作PE⊥x軸交于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，作PM⊥BC于點(diǎn)M.

設(shè)P點(diǎn)(x，-x2-2x+3)(-3

則F(x，x+3).

從以上四種解法可以看到，本題解題思路都是過(guò)點(diǎn)P作輔助線，然后利用相關(guān)性質(zhì)找出各元素之間的關(guān)系進(jìn)行求解。

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