2023年初中數學：圓的輔助線作法

圓幾乎是中考數學必考的壓軸題型之一，因為與圓結合的圖形形狀有很多，比如三角形、四邊形等基本圖形。可見其綜合性、靈活性非常高。而要做好與圓相關的題目，我們通常少不了要做與圓有關的輔助線，今天我們就來討論一下怎么做與圓有關的輔助線。

一、輔助線作法

1、圓周角定理:圓周角的度數等于它所對弧上的的圓心角度數的一半.

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等

推論2:直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑;

輔助線方法：①若條件給出圓周角或者圓心角的度數或等量關系

那么我們就添加輔助線，找出同弧或等弧所對的圓周角或圓心角;

②見到直徑，那么我們就找直徑所對的圓周角。

2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

輔助線或使用方法：

①計算線段長，或證明線段相等，考慮垂徑定理;

②一直線過圓心的情況，就要想到證某條弦被該直線垂直平分;

③若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結果

3、切線判定定理:經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線.

切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑.

推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.

所以如果一條直線具備以下三個條件中的任意兩個,就可推出第三個：

①垂直于切線; ②過切點; ③過圓心.

輔助線方法：見到切線尤其是要證明相切關系，那么我們就連過切點的半徑。

4、弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數。

輔助線方法：見到弦切角就作出它所對應的圓周角或圓心角。

5、兩圓相交

輔助線方法：連接公共弦和兩個圓心。

二、相關定理對應例題解析

2.1、圓周角定理

方法技巧：見到直徑，那么我們就找直徑所對的圓周角

2.2、垂徑定理

例3、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=4，tanB=3.以AB為直徑作⊙O，交邊DC于E、F兩點.

(1)求證：DE=CF;

(2)求：直徑AB的長.

(1)證明：過點O作OH⊥DC，垂足為H.

∵AD∥BC，∠ADC=90°，OH⊥DC，

∴∠BCN=∠OHC=∠ADC=90°.

∴AD∥OH∥BC.

又∵OA=OB.

∴DH=HC.

∵OH⊥DC，OH過圓心，

∴EH=HF，

∴DH﹣EH=HC﹣HF.

即：DE=CF.

(2)解：過點A作AG⊥BC，垂足為點G，∠AGB=90°，

∵∠AGB=∠BCN=90°，

∴AG∥DC.

∵AD∥BC，

∴AD=CG.

∵AD=2，BC=4，

∴BG=BC﹣CG=2.

在Rt△AGB中，∵tanB=3，

∴AG=BG•tanB=2×3=6.

方法技巧：計算線段長，或證明線段相等，考慮垂徑定理

例4、如圖4-10(a)所示，A、B、C在⊙O上，∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC，AE⊥BP于E，求證：AE過圓心O.

方法技巧：要證“一直線過圓心”的情況，就要想到證以這條直線為弦的垂直平分線，所以補齊圖中圖形，由垂徑定理即可得證.

2.3、切線判定定理

例5、如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠APB=60°，連接PO并延長與⊙O交于點C，連接AC，BC.

(1)求證：四邊形ACBP是菱形;

(2)若⊙O的半徑為1，求菱形ACBP的面積.

方法技巧：見到切線尤其是要證明相切關系，那么我們就連過切點的半徑

例6、如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE.

(1)求AC、AD的長;

(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由.

輔助線方法：見到弦切角就作出它所對應的圓周角或圓心角

3.4、弦切角定理

3.5、兩圓相交

例8、如圖所示，⊙O1和⊙O2交于D、E，A在⊙O1上，AD、AE分別交⊙O2于B、C.求證：AO1⊥BC.www-2

證明;如圖4-7(b)所示，連接DE，得∠ADE=∠C.

設AO1交⊙O1于F，由于同圓中同一條弦所對的同側的圓周角相等，

∴∠AFE=∠ADE.

又∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠EAF+∠C=90°，即AO1⊥BC.

方法技巧：與兩圓相交，連接公共弦和兩個圓心

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