2023年初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的妙用

我們先來回顧一下三角函數(shù)的定義。

也就是說，銳角三角函數(shù)首先需要在直角三角形中才能使用，其次，我們所求的正弦、余弦和正切所對(duì)應(yīng)的角都是銳角，所以初中所學(xué)的是“銳角三角函數(shù)”。最后，我們可以發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)角度確定了，三角函數(shù)值也就確定了，反過來也成立——當(dāng)三角函數(shù)值確定了，(銳角)角度也可以確定

真題展示

我們以2019年無錫中考的一道題為例。

抽絲剝繭

首先通過下面視頻來分析題意:

，時(shí)長05:27

分析之后我們發(fā)現(xiàn)，該題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和需要建立的條件反射有下面幾個(gè).

1、 兩條線之間的距離處處相等，則這兩條線平行

2、動(dòng)態(tài)問題，動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖象的確定很重要。可以在草稿紙上描繪、猜測

3、如果一個(gè)三角形的三邊關(guān)系確定，面積知道，那么需要想到該三角形的周長是可求的

4、兩個(gè)相似三角形，要求其中一個(gè)的周長，只需求出另一個(gè)圖形的周長和這兩個(gè)三角形的相似比即可

5、數(shù)學(xué)讀題不是眼睛看，而是邊讀題，邊在圖上進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)可以幾何題干信息和圖象描繪基礎(chǔ)輔助線.

從上面的分析我們發(fā)現(xiàn)如果能求出AD的長，那么這題也就解出來了。回顧我們前面的分析，發(fā)現(xiàn)△ADA'是一個(gè)直角三角形，而且知道一邊，那么如果我們能得到一個(gè)角的三角函數(shù)值，那么該三角形也就解出來了。但現(xiàn)在我們一個(gè)角的都不知道，所以需要選取一個(gè)可能求得出來的角去試試。

根據(jù)條件，我們發(fā)現(xiàn)(點(diǎn)A'到AC和AB的距離相等，得到點(diǎn)A'在∠CAB的角平分線上)，而且∠CAB的三角函數(shù)值是可求的。

所以我們的問題就變成：已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，怎么求這個(gè)角的半角的三角函數(shù)值。

要求半角，首先我們需要構(gòu)造半角，在初中階段，涉及倍半角關(guān)系主要有這么幾種：

①角平分線;

②等腰三角形頂角的外角是底角的兩倍;

③等腰三角形三線合一;

④菱形、正方形對(duì)角線;

⑤同弧或等弧所對(duì)的圓心角與圓周角

放在這題中，③④⑤直接排除，①條件本就這么給的，因此我們考慮②。我們先回顧②指的是什么。

如圖，△ABC中，AB=AC，則∠1=2∠A=2∠C

那么這題的輔助線也就出來，接下來再跟著視頻看后續(xù)的思考方向。

，時(shí)長01:46

真題解答

所以該題的解題步驟如下：

回顧整個(gè)分析、解答過程，我們發(fā)現(xiàn)該題涉及的都是初中階段最基礎(chǔ)的圖形性質(zhì)，甚至還有小學(xué)就學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)，可以說這些都是大家耳熟能詳?shù)模�稍微不容易想到的可能就是等腰三角形頂角外角與底角的2倍關(guān)系，我們再來看看是如何使用的。

真題演練

我們接下來用三角函數(shù)的思想來解一下2016成都的這道中考題。

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