2023年初中數學一次函數中等腰三角形存在性問題

兩圓一線

一線，指的是線段的中垂線;

兩圓，指的是以線段長度為半徑，線段端點為圓心而產生的兩個圓。

首先，我們來解決第一個問題，等腰三角形的生成問題。

在平面內有一線段AB，點C為平面內任意一點，若△ABC為等腰三角形，則這樣的點C有幾個?點C的軌跡又是什么?根據等腰三角形的性質，線段AB有可能為底邊，也有可能為腰，故有兩種基本情況。：線段AB為底邊，則有AC=BC，即點C到線段AB兩端點的距離相等，故點C在線段AB的中垂線上，此時點C有無數個，點C的軌跡為直線(不取與AB相交的點)，如下圖：

情況（2）

：線段AB為腰，則有：①AB=AC，即點C到點A的距離等于點B到點A的距離，則點C在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上，此時點C有無數個，點C的軌跡為圓(不取點B和與A、B共線點)，如下圖：②AB=BC，即點C到點B的距離等于點A到點B的距離，則點C在以點B為圓心，AB長為半徑的圓上，此時點C有無數個，點C的軌跡為圓(不取點A和與A、B共線的點)，如下圖：

請記住這兩圓一線：

綜上所述，這樣的點C有無數個，點C的軌跡為兩個圓和一條直線，為了方便記憶，我們簡稱“兩圓一線”，這是等腰三角形存在性處理的基本定性策略。

- 嘉成老師解析 -

同學們～碰到一次函數跟幾何結合的題目，等腰三角形的存在性問題時，要想到兩圓一線的方法;每一個點都有可能是定點，所有分3種情況進行討論，其中一種是找垂直平分線，另外兩種是以給定的一個點為圓心，線段長度為半徑，垂直平分線/圓與所給線段的交點，即為所求。

其次，我們來解決第二個問題，等腰三角形的邊長問題。

求等腰三角形的邊長，我們通常將其轉化為兩點間的距離問題，所以，我們來推導一下平面內兩點間的距離公式。已知平面內兩點A(1,2)、B(6,4)，求線段AB的長度。連接AB，以AB為斜邊，構造直角邊與坐標軸平行的直角三角形，利用勾股定理解題，如下圖：

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