2023年初中數學：如何在平面直角坐標系中求對稱點的坐標

下面，將分類進行探討：

一、求點關于點的對稱點坐標；

二、求點關于坐標軸（或平行于坐標軸）的對稱點坐標；

三、求點關于一次函數的對稱點坐標。

一、點關于點的對稱

實質：該點是兩對稱點連線段的中點。

中點坐標公式

方法：利用。

說明：

(1)點P(a,b)關于點A(x,y)的對稱點的坐標為P’(2x-a,2y-b);

x、y均互為相反數。

(2)點P(a,b) 關于原點O(0,0)的對稱點P’(-a,-b)，特點為：

二、點關于坐標軸（平行于坐標軸）對稱

實質：軸(直線)是對稱點連線段的中垂線

(一)關于x軸對稱

1.關于x軸對稱

x不變，y互為相反數

一個點A(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為A’(a,-b)，特點為：。

2.關于平行于x軸的直線對稱

x不變，y相加等于2m

一個點A(a,b)關于直線y=m對稱的點的坐標為A’(a,2m-b)，特點為：。

例：A(-3,5)關于x軸對稱的點的坐標為A’(____,____).

解：點A、A’關于x軸對稱

∴橫坐標不變，縱坐標互為相反數

∴A’(-3，-5)

例：A(-3,5)關于直線y=1對稱的點的坐標為A’(____,____).

解：點A、A’關于直線y=1對稱

∴橫坐標不變，縱坐標相加等于2

∴A’(-3，-3)

(二)關于y軸對稱

1.關于y軸對稱

y不變，x互為相反數

一個點A(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為A’(-a,b)，特點為：。

2.關于平行于y軸的直線對稱

y不變，x相加等于2m

一個點A(a,b)關于直線x=m對稱的點的坐標為A’(2m-a,b)，特點為：。

例：A(-3,5)關于y軸對稱的點的坐標為A’(____,____).

解：點A、A’關于y軸對稱

∴縱坐標不變，橫坐標互為相反數

∴A’(3，5)

例：A(-3,5)關于x=1對稱的點的坐標為A’(____,____).

解：點A、A’關于直線x=1對稱

∴縱坐標不變，橫坐標相加等于2

∴A’(5，-3)

三、關于一次函數y=kx+b對稱

已知點A坐標與直線解析式，求點A關于直線對稱的點A’的坐標。

1.解析式法

(1)兩直線垂直，k1·k2=-1

(2)AA'的解析式

(3)點B的坐標

(4)利用中點坐標公式

2.幾何法（化斜為直）

(1)求出點H的坐標，可得AH的長度

(3) 求AB的長度(三角函數)

(4) AA'=2AB

(5) 求AF、A'F的長度(三角函數)

(6)可得點A’的坐標

3 .幾何法（構造“K字形”相似）

(1)過點A作x軸、y軸的平行線，分別交直線點B、C，連接A’B、A’C(△ABC≌△A’BC)

(2)過點A’作x軸的平行線，過點B、C作這條線的垂線交于點D、E(構造“K字形”相似)

(3)可求AC、AB的長

(4)

(5)可得點A’的坐標

【例】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(-2,3)關于一次函數y=2x+4的對稱點為A’，求點A’的坐標。

解法一：解析式法

解法二：幾何法（化斜為直）

解法二：幾何法（構造“K字形”相似）

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