2023年初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)及公式

依據(jù)單位圓定義，我們可以做三個(gè)有向線段(向量)來表示正弦、余弦、正切的值。

借助線三角函數(shù)線，我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正，余弦值為負(fù)，正切值為負(fù)。

1．銳角三角函數(shù)定義

銳角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

正弦(sin)等于對(duì)邊比斜邊;

余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;

正切(tan)等于對(duì)邊比鄰邊;

余切(cot)等于鄰邊比對(duì)邊;

正割(sec)等于斜邊比鄰邊;

余割(csc)等于斜邊比對(duì)邊。

2．互余角的三角函數(shù)關(guān)系

sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。

3．同角三角函數(shù)間的關(guān)系

商數(shù)關(guān)系：sinA/cosA=tanA

平方關(guān)系：sin^2(A)+cos^2(A)=1

積的關(guān)系：

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA

cotA=cosA·cscA

tanA·cotA=1

倒數(shù)關(guān)系：

直角三角形ABC中

角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊，

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對(duì)邊比鄰邊,

余切等于鄰邊比對(duì)邊

4.三角函數(shù)值

(1)特殊角三角函數(shù)值

(2)0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表

(3)銳角三角函數(shù)值的變化情況

(i)銳角三角函數(shù)值都是正值

(ii)當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，

正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

(iii)當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí)，

0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0

當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，

tanA>0, cotA>0

對(duì)稱軸與對(duì)稱中心

y=sinx 對(duì)稱軸：x=kπ+π/2(k∈z) 對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈z)

y=cosx 對(duì)稱軸：x=kπ(k∈z) 對(duì)稱中心：(kπ+π/2，0)(k∈z)

y=tanx 對(duì)稱軸：無 對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈z)

兩角和與差的三角函數(shù)

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

積化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan2α=2tanα/(1-tan^2)

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)

n倍角公式

根據(jù)歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

將左邊用二項(xiàng)式定理展開分別整理實(shí)部和虛部可以得到下面兩組公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

輔助角公式

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos[α-arctan(A/B)]

萬能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

cos(a)=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]

降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2=versin(2α)/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2=vercos(2α)/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和的三角函數(shù)

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

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