2023年初中數學：三角函數關系

1.銳角三角函數定義

銳角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數。

正弦(sin)等于對邊比斜邊;

余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;

正切(tan)等于對邊比鄰邊;

余切(cot)等于鄰邊比對邊;

正割(sec)等于斜邊比鄰邊;

余割(csc)等于斜邊比對邊。

2.互余角的三角函數關系

sin(90°-α)=cosα，

cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα，

cot(90°-α)=tanα。

3.同角三角函數間的關系

商數關系：sinA/cosA=tanA

平方關系：sin^2(A)+cos^2(A)=1

積的關系：

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA

cotA=cosA·cscA

tanA·cotA=1

倒數關系：

直角三角形ABC中角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊，余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,余切等于鄰邊比對邊

4.三角函數值

(1)特殊角三角函數值

(2)0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表

(3)銳角三角函數值的變化情況

(i)銳角三角函數值都是正值

(ii)當角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

(iii)當角度在0°≤∠A≤90°間變化時，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0當角度在0°<∠A<90°間變化時，tanA>0, cotA>0

5、倒數關系:

sina*csca=1

cosa*seca=1

tana*cota=1

6、商數關系

tana=sina/cosa

cota=cosa/sina

7、平方關系:

(sina)^2+(cosa)^2=1

1+(tana)^2=(seca)^2

1+(cota)^2=(csca)^2

8、三角函數的轉換關系:

和角公式sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb

cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)

tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)

cot(a+b)=(cota*cotb-1)/(cota+cotb)

cot(a-b)=(cota*cotb+1)/(cotb-cota)

倍角公式

sin2a=2sina*cosa

cos2a=(cosa)²-(sina)²=2(cosa)²-1=1-2(sina)²tan2a=2tana/[1-(tana)²]

sin(3a)=3sina-4(sina)³cos(3a)=4(cosa)³-3cosa

tan(3a)=[3tana-(tana)³]/[1-3(tana)²]

積化和差

sina×cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

cosa×sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

cosa×cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

sina×sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2

和差化積sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

萬能公式

令tan(a/2)=t則sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

輔助角公式

asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) (r=arctan(b/a)

cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]

sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]

tanr=b/a

半角公式

sin^2(a/2)=[1-cos(a)]/2

cos^2(a/2)=[1+cos(a)]/2

tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sin(a)/[1+cos(a)]

誘導公式

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

sec(2kπ+α)=secα

csc(2kπ+α)=cscα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

sin(α-π)=-sinα

cos(α-π)=-cosα

tan(α-π)=tanα

cot(α-π)=cotα

sec(α-π)=-secα

csc(α-π)=-cscα

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

sec(2π-α)=secα

csc(2π-α)=-cscα

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

誘導公式記背訣竅:奇變偶不變，符號看象限(奇偶判斷的是π/2、π等的系數的奇偶，看象限看的是sin、cos、tan在坐標軸中的+或者-)

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