2024年初中數學中考復習：反比例函數及其綜合運用

一、反比例函數的定義

一般地，形如k/x(k為常數，k≠0)的函數稱為反比例函數，其中x是自變量，y是函數，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數.

二、確定反比例函數的關系式

由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一.對x、 y的對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式用待定系數法求反比例函數關系式的一般步驟是:

(1)設所求的反比例函數為: y=k/x(k≠0);

(2)把已知條件(自變量與函數的對應值)代入關系式，得到關于待定系數k的方程:

(3) 解方程求出待定系數k的值:

(4)把求得的k值代回所設的函數關系式中.

三、反比例函數的圖像和性質

1、反比例函數的圖像特征:

反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限;

反比例函數的圖像關于原點對稱，永遠不會與x 軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.

反比例函數的圖象和性質

1.會用描點的方法畫反比例函數的圖象;(重點)

2.理解反比例函數圖象的性質.(重點，難點)

合作探究

探究點一：反比例函數的圖象

【類型一】反比例函數圖象的畫法

作函數y=的圖象.

解析：根據函數圖象的畫法，進行列表、描點、連線即可.

解：列表：

描點、連線：

方法總結：作圖的一般步驟為：①列表;②描點;③連線;④注明函數解析式.

【類型二】反比例函數與一次函數圖象位置的確定

在同一坐標系中(水平方向是x軸)，函數y=和y=kx+3的圖象大致是(　　)

解析：A.由函數y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k>0且過點(0，3)一致，故A選項正確;B.由函數y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k>0且過點(0，3)矛盾，故B選項錯誤;C.由函數y=的圖象可知k<0與y=kx+3的圖象中k<0且過點(0，3)矛盾，故C選項錯誤;D.由函數y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k<0且過點(0，3)矛盾，故D選項錯誤.故選A.

方法總結：解答此類問題時，通常先根據雙曲線圖象所在的象限確定k的符號，再確定一次函數的系數及經過的點是否也符合圖案，如果符合，可能正確;如果不符合，一定錯誤.

【類型三】實際問題中函數圖象的確定

若按xL/min的速度向容積為20L的水池中注水，注滿水池需ymin.則所需時間ymin與注水速度xL/min之間的函數關系用圖象大致可表示為(　　)

解析：∵水池的容積為20L，∴xy=20，∴y=(x>0)，故選B.

方法總結：解答此類問題要先根據題意列出反比例函數關系式，然后依據實際情況確定函數自變量的取值范圍，從而確定函數圖象.

【類型四】反比例函數圖象的對稱性

若正比例函數y=-2x與反比例函數y=圖象的一個交點坐標為(-1，2)，則另一個交點坐標為(　　)

A.(2，-1) B.(1，-2)

C.(-2，-1) D.(-2，1)

解析：∵正比例函數y=-2x與反比例函數y=的圖象均關于原點對稱，∴兩函數的交點也關于原點對稱.∵一個交點的坐標是(-1，2)，∴另一個交點的坐標是(1，-2).故選B.

方法總結：反比例函數y=(k≠0)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸是一、三(或二、四)象限角平分線所在的直線，對稱中心是坐標原點.

探究點二：反比例函數的性質

【類型一】根據解析式判定反比例函數的性質

已知反比例函數y=-，下列結論不正確的是(　　)

A.圖象必經過點(-1，2)

B.y隨x的增大而增大

C.圖象分布在第二、四象限

D.若x>1，則-2

解析：A.(-1，2)滿足函數解析式，則圖象必經過點(-1，2)，命題正確;B.在第二、四象限內y隨x的增大而增大，忽略了x的取值范圍，命題錯誤;C.命題正確;D.根據y=-的圖象可知，在第四象限內命題正確.故選B.

方法總結：解答此類問題要熟記反比例函數圖象的性質.

【類型二】根據反比例函數的性質判定系數的取值范圍

在反比例函數y=的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的值可以是(　　)

A.-1B.3 C.1 D.2

解析：∵反比例函數y=的圖象在每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，∴1-k>0，解得k<1.故選A.

方法總結：對于函數y=，當k>0時，其圖象在第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小;當k<0時，在第二、四象限，在每個象限內y隨x的增大而增大，熟記這些性質在解題時能事半功倍.

三、板書設計

1.反比例函數的圖象：雙曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

2.反比例函數的性質：

(1)當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小;

(2)當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大.

3、反比例函數的性質

(1)如圖1，當k>0時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、 三象限，在每個象限內，y值隨x值的增大而減小:

(2) 如圖2，當k<0時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，y值隨x值的增大而增大:

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