2024年初中數學《三角函數解決問題》4類題型

類型一：定位問題

1.某校興趣小組從游輪拍攝海河兩岸美景.如圖，游輪出發點A與望海樓B的距離為300 m，在A處測得望海樓B位于A的北偏東30°方向，游輪沿正北方向行駛一段時間后到達C，在C處測得望海樓B位于C的北偏東60°方向，求此時游輪與望海樓之間的距離BC.(取1.73，結果保留整數)

解：根據題意可知AB=300 m.

如圖所示，過點B作BD⊥AC，

交AC的延長線于點D.在Rt△ADB中，

∵∠BAD=30°，∴BD=1/2AB=1/2×300=150(m).

在Rt△CDB中，∵sin∠DCB=BCBD，

∴BC=sin∠DCBBD=sin 60°150=3300≈173(m).

答：此時游輪與望海樓之間的距離BC約為173 m.

類型二：坡壩問題

2.如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，壩高BE=20米.汛期來臨，為加大水壩的防洪強度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的長度 .(結果精確到1米，參考數據：≈1.414，≈1.732)【版權所有：21教育】

解：在Rt△ABE中，∠BEA=90°，∠BAE=45°，BE=20米，

∴AE=20米.

在Rt△BEF中，∠BEF=90°，∠F=30°，BE=20米，

∴EF=tan 30°BE=3=20(米).

∴AF=EF-AE=20-20

≈20×1.732-20=14.64≈15(米).

答：AF的長度約是15米.

類型三：測距問題

3.一條東西走向的高速公路上有兩個加油站A，B，在A的北偏東45°方向上還有一個加油站C，C到高速公路的最短距離是30千米，B，C間的距離是60千米，想要經過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，請求出交叉口P到加油站A的距離.(結果保留根號)

解：分兩種情況：

(1)如圖①，在Rt△BDC中，CD=30千米，BC=60千米.

∴sinB=BCCD=21，∴∠B=30°.

∵PB=PC，∴∠BCP=∠B=30°.

∴在Rt△CDP中，∠CPD=∠B+∠BCP=60°，

∴DP=tan ∠CPDCD=tan 60°30=10(千米).

在Rt△ADC中，∵∠A= 45°，

∴AD=DC=30千米.

∴AP=AD+DP=(30+10)千米.

(2)如圖②，同理可求得DP=10千米，AD=30千米.

∴AP=AD-DP=(30-10)千米.

故交叉口P到加油站A的距離為(30±10)千米.

類型四：測高問題

4.如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A，C，E在同一直線上.

(1)求斜坡CD的高度DE;

解：在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，

∴DE=21DC=2米;

(2)求大樓AB的高度.(結果保留根號)

如圖，過點D作DF⊥AB，交AB于點F，

則∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠DBF=45°，即△BFD為等腰直角三角形，

設BF=DF=x米，

∵四邊形DEAF為矩形，

∴AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴BC=cos 30°AB=3=32x+4=33(2x+4)(米)，

∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，

∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，BD=BF=x米，DC=4米，

根據勾股定理得：2x2=3(2x+4)2+16，

解得：x=4+4或x=4-4(舍去)，

則大樓AB的高度為(6+4)米.

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